미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

회전체의 부피

문제

오른쪽 그림과 같이 좌표평면의 제 11사분면에서 두 곡선 y=3−12x2,x2+y2=9\displaystyle y = 3 - \frac{1}{2} x ^{2} , x ^{2} + y ^{2} = 9와 xx축으로 둘러싸인 부분을 yy축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 VV라 할 때, 1πV\displaystyle \frac{1}{\pi} V의 값을 구하시오. (단, π는 원주율을 나타낸다.) [3점]

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해설

위의 그림에서 어두운 부분을 yy축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피VV는 V=π∫03{(9−y2)−(6−2y)}dy\displaystyle V = \pi \int _{0} ^{3} \left\{ ( 9 - y ^{2} ) - ( 6 - 2 y ) \right\} d y =π∫03(−y2+2y+3)dy\displaystyle = \pi \int _{0} ^{3} ( - y ^{2} + 2 y + 3 ) d y =π[−y23+y2+3y]03\displaystyle = \pi \left[ - \frac{y ^{2}}{3} + y ^{2} + 3 y \right] _{0} ^{3}=9π= 9 \pi ∴1πV=1π×9π\displaystyle \therefore \frac{1}{\pi} V = \frac{1}{\pi} \times 9 \pi=9= 9

태그

#회전체의 부피#정적분

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