회전체 부피

구하는 회전체의 부피는 그림과 같이 색칠된 부분을 $x$축으로 회전시키는 것과 같다.

따라서 원기둥에서 곡선 $\displaystyle y = e ^{\frac{x}{2}}$의 $x = 0$에서 $x = 2$까지의 회전체를 뺀 값이므로 $\displaystyle {\mathrm{V}} = 2 \pi \cdot e ^{2} - \pi \int _{0} ^{2} {( e ^{\frac{x}{2}} ) ^{2}} dx$ $\displaystyle = 2 e ^{2} \pi - \pi \int _{0} ^{2} {e ^{x}} dx = 2 \pi e ^{2} - \pi \left( e ^{2} - 1 \right)$ $= e ^{2} \pi + \pi = \left( e ^{2} + 1 \right) \pi$