미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전체 부피

문제

[13∼14] 구간 (0,∞){\left( 0 , \infty \right)}에서 정의된 함수 f(x)=px\displaystyle {f ( x ) = \frac{p}{x}} (p>1)( p > 1 )의 그래프는 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

곡선 y=f(x)y = f ( x )와 xx축 및 두 직선 x=1x = 1, x=px = p로 둘러싸인 부분을 xx축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 20π20 \pi일 때, 상수 pp의 값은? [4점] ①174\displaystyle \frac{17}{4}②92\displaystyle \frac{9}{2}③194\displaystyle \frac{19}{4}④55⑤214\displaystyle \frac{21}{4}

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④

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해설

[출제의도] 회전체의 부피 이해하기 π∫1p(px)2dx\displaystyle \pi \int _{1} ^{p} {\left( \frac{p}{x} \right) ^{2} dx}=πp2[−1x]1p\displaystyle = \pi p ^{2} \left[ - \frac{1}{x} \right] _{1} ^{p} =20π= 20 \pi −p+p2=20- p + p ^{2} = 20, (p−5)(p+4)=0( p - 5 ) ( p + 4 ) = 0 p>1p > 1이므로 p=5p = 5

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