미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전체 부피

문제

두 포물선 y2=4xy ^{2} = 4 x와 y2=8(x−2)y ^{2} = 8 ( x - 2 )로 둘러싸인 부분을 xx축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피가 VV일 때, Vπ\displaystyle \frac{V}{\pi}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 포물선의 그래프를 이용하여 회전체의 부피를 구하는 문제를 해결한다. 두 곡선의 교점의 xx좌표는 8(x−2)=4x8 ( x - 2 ) = 4 x에서 x=4x = 4 V=π∫044xdx−π∫248(x−2)dx\displaystyle V = \pi \int _{0} ^{4} {4 xdx} - \pi \int _{2} ^{4} {8 ( x - 2 ) dx}=π[2x2]04−π[4x2−16x]24= \pi \left[ 2 x ^{2} \right] _{0} ^{4} - \pi \left[ 4 x ^{2} - 16 x \right] _{2} ^{4}=32π−16π=16π= 32 \pi - 16 \pi = 16 \pi ∴ Vπ=16\displaystyle \frac{V}{\pi} = 16

태그

#회전체의 부피#포물선

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