공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전변환 행렬

문제

좌표평면에서 원점을 중심으로 하는 회전변환 ff에 의하여 점 (1,0)( 1 , 0 )이 제11사분면 위의 점 (32,a)\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} , a \right)로 옮겨진다. 회전변환 ff를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 bb라 할 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값은? [3점] ①3112\displaystyle \frac{31}{12}②114\displaystyle \frac{11}{4}③3512\displaystyle \frac{35}{12}④3712\displaystyle \frac{37}{12}⑤134\displaystyle \frac{13}{4}

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⑤

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해설

ff가 각 θ\theta만큼 회전변환이라 하면 ff를 나타내는 행렬은 A=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\displaystyle A = \begin{pmatrix} \cos \theta & & - \sin \theta \\ \sin \theta & & \cos \theta \end{pmatrix} (32a)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(10)=(cos⁡θsin⁡θ)\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & & - \sin \theta \\ \sin \theta & & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} ∴a2=sin⁡2θ=1−cos⁡2θ=14⋯⋯㉠\displaystyle \therefore a ^{2} = \sin ^{2} \theta = 1 - \cos ^{2} \theta = \frac{1}{4} \cdots \cdots \text{㉠} AA의 모든 성분의 합은 2cos⁡θ=3=b\displaystyle 2 \cos \theta = \sqrt{3} = b ∴b2=3⋯⋯㉡\therefore b ^{2} = 3 \cdots \cdots \text{㉡} ㉠, ㉡에서 a2+b2=134\displaystyle a ^{2} + b ^{2} = \frac{13}{4}

태그

#회전변환#삼각함수

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