공통수학1다항식의 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

호 위 점 직사각형 넓이

문제

[15 ~ 16] 그림과 같이 AB‾=2\displaystyle {{\mathrm{\overline{AB}} = 2}}, BC‾=4\displaystyle {\mathrm{\overline{BC}} = 4}인 직사각형과 선분 BC{\mathrm{BC}}를 지름으로 하는 반원이 있다. 직사각형 ABCD{\mathrm{ABCD}}의 내부에 있는 한 점 P{\mathrm{P}}에서 선분 AB{\mathrm{AB}}에 내린 수선의 발을 Q{\mathrm{Q}}, 선분 AD{\mathrm{AD}}에 내린 수선의 발을 R{\mathrm{R}}라고 할 때, 15번과 16번의 두 물음에 답하시오.

호 BC\mathrm{BC}위에 있는 점 P\mathrm{P}에 대하여 직사각형 AQPR\mathrm{AQPR}의 둘레의 길이는 1010이다. 직사각형 AQPR\mathrm{AQPR}의 넓이는? [4점] ①44②92\displaystyle \frac{9}{2}③55④112\displaystyle \frac{11}{2}⑤66

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②

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해설

[출제의도] 곱셈공식을 이용하여 직사각형의 넓이를 구한다.

호 BC\mathrm{BC}위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 PQ‾=x\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = x, PR‾=y\displaystyle \overline{\mathrm{PR}} = y라고 하면 직사각형 AQPR\mathrm{AQPR}의 둘레의 길이는 1010이므로 2(x+y)=102 ( x + y ) = 10 … ㉠ 점 P\mathrm{P}에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하고 선분 BC\mathrm{BC}의 중점을 M\mathrm{M}이라고 하면 PH‾=2−y\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = 2 - y, MH‾=x−2\displaystyle \overline{\mathrm{MH}} = x - 2 직각삼각형 PMH\mathrm{PMH}에서 피타고라스의 정리에 의해 4=(2−y)2+(x−2)24 = ( 2 - y ) ^{2} + ( x - 2 ) ^{2} =x2+y2−4(x+y)+8= x ^{2} + y ^{2} - 4 ( x + y ) + 8 =(x+y)2−2xy−4(x+y)+8= ( x + y ) ^{2} - 2 xy - 4 ( x + y ) + 8 ㉠에서 x+y=5x + y = 5이므로 4=25−2xy−20+84 = 25 - 2 xy - 20 + 8 2xy=92 xy = 9 따라서 xy=92\displaystyle xy = \frac{9}{2}

태그

#곱셈공식의 변형#원

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