공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

허수 대입 나머지

문제

삼차식 f(x)f ( x )와 이차식 g(x)g ( x )가 f(1+2i)=3+2i,g(1+2i)=0f ( 1 + 2 \mathit{i} ) = 3 + 2 i , g ( 1 + 2 i ) = 0 을 만족한다. f(x)f ( x )를 g(x)g ( x )로 나눈 나머지를 R(x)R ( x )라고 할 때, R(10)R ( 10 )의 값을 구하시오. (단, i=−1\displaystyle \mathit{i} = \sqrt{- 1}이고 f(x)f ( x )와 g(x)g ( x )의 계수는 모두 실수이다.) [3점]

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해설

f(x)f ( x )를 g(x)g ( x )로 나눈 몫을 Q(x)Q ( x ), 나머지를 ax+bax + b라 두면 f(x)=g(x)Q(x)+ax+bf ( x ) = g ( x ) Q ( x ) + ax + b (단, a,ba , b는 실수) x=1+2ix = 1 + 2 i을 대입하면 f(1+2i)=g(1+2i)Q(1+2i)+a(1+2i)+bf ( 1 + 2 i ) = g ( 1 + 2 i ) Q ( 1 + 2 i ) + a ( 1 + 2 i ) + b 3+2i=(a+b)+2ai3 + 2 i = ( a + b ) + 2 ai이므로 복소수의 상등에 의하여 a+b=3,2a=1a + b = 3 , 2 a = 1 ∴a=1,b=2\therefore a = 1 , b = 2 R(x)=x+2R ( x ) = x + 2 ∴R(10)=12\therefore R ( 10 ) = 12

태그

#나머지정리#복소수 상등

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