공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

허근의 비의 세제곱

문제

계수가 실수인 xx에 대한 이차방정식 ax2+bx+c=0ax ^{2} + bx + c = 0의 두 근을 α,β\alpha , \beta라 하자. α\alpha가 허수이고 α2β\displaystyle \frac{\alpha ^{2}}{\beta}이 실수일 때, (αβ)3\displaystyle \left( \frac{\alpha}{\beta} \right) ^{3}의 값은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이다.) [3점] ①11②−1- 1③ii④−i- i⑤1+i1 + i

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①

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해설

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 이차방정식문제 해결하기 α\alpha가 허근이므로 β=α‾\displaystyle \beta = \overline{\alpha} 이다. α2β\displaystyle \frac{\alpha ^{2}}{\beta}이 실수이므로 α2β=(α2β)‾=α‾2β‾=β2α\displaystyle \frac{\alpha ^{2}}{\beta} = \overline{\left( \frac{\alpha ^{2}}{\beta} \right)} = \frac{\overline{\alpha} ^{2}}{\overline{\beta}} = \frac{\beta ^{2}}{\alpha} 에서 (αβ)3=1\displaystyle \left( \frac{\alpha}{\beta} \right) ^{3} = 1 이다.

태그

#켤레복소수#허근

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