허근이 주어진 삼차방정식

[출제의도] 복소수의 상등 이해하기 $\displaystyle 1 - \sqrt{3} i$가 주어진 삼차방정식의 근이므로 $\displaystyle \left( 1 - \sqrt{3} i \right) ^{3} + a \left( 1 - \sqrt{3} i \right) ^{2} + b \left( 1 - \sqrt{3} i \right) - 8 = 0$ $\displaystyle ( - 2 a + b - 16 ) - ( 2 a + b ) \sqrt{3} i = 0$ 이고 $a , b$ 가 실수이므로 $- 2 a + b - 16 = 0$ …① $2 a + b = 0$ … ② ①, ②를 연립하여 풀면 $a = - 4$, $b = 8$ $\therefore a + b = 4$ (별해) 주어진 삼차방정식의 계수가 실수이므로 한 근이 $\displaystyle 1 - \sqrt{3} i$ 이면 $\displaystyle 1 + \sqrt{3} i$ 도 근이다. 나머지 한 근을 $\alpha$라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle ( 1 - \sqrt{3} i ) + ( 1 + \sqrt{3} i ) + \alpha = - a$ … ① $\displaystyle ( 1 - \sqrt{3} i ) ( 1 + \sqrt{3} i ) + \alpha ( 1 - \sqrt{3} i )$$\displaystyle + \alpha ( 1 + \sqrt{3} i ) = b$ … ② $\displaystyle ( 1 - \sqrt{3} i ) ( 1 + \sqrt{3} i ) \alpha = 8$ … ③ ①, ②, ③을 연립하여 풀면$\alpha = 2$, $a = - 4$, $b = 8$ $\therefore a + b = 4$