공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

허근이 주어진 이차방정식

문제

xx에 대한 이차방정식 x2+(m+n)x−mn=0x ^{2} + \left( m + n \right) x - mn = 0의 한 근이 4+2i\displaystyle 4 + \sqrt{2} i일 때, m2+n2m ^{2} + n ^{2}의 값을 구하시오. (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이고 mm, nn은 실수이다.) [3점]

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100

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해설

[출제의도] 근과 계수의 관계를 이해하기 계수가 실수인 이차방정식x2+(m+n)x−mn=0x ^{2} + ( m + n ) x - m n = 0의 한 근이 4+2i\displaystyle 4 + \sqrt{2} i이므로 다른 한 근은 4−2i\displaystyle 4 - \sqrt{2} i이다. 그러므로 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 (4+2i)+(4−2i)=−(m+n)\displaystyle ( 4 + \sqrt{2} i ) + ( 4 - \sqrt{2} i ) = - ( m + n )에서 m+n=−8m + n = - 8이고 (4+2i)(4−2i)=−mn\displaystyle ( 4 + \sqrt{2} i ) ( 4 - \sqrt{2} i ) = - m n에서mn=−18m n = - 1 8이다. 따라서 m2+n2=(m+n)2−2mnm ^{2} + n ^{2} = ( m + n ) ^{2} - 2 m n =(−8)2−2×(−18)=100= ( - 8 ) ^{2} - 2 \times ( - 1 8 ) = 1 0 0

태그

#켤레근#근과 계수의 관계

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