허근과 식의 값

[출제의도] 이차방정식의 근을 구하여 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다. 이차방정식 $x ^{2} - 2 x + 3 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면, 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = 2$, $\alpha \beta = 3$ ∴ $\displaystyle \alpha + \frac{3}{\alpha} = \alpha + \beta = 2$ [별해] 이차방정식 $x ^{2} - 2 x + 3 = 0$에서 $\displaystyle x = 1 \pm \sqrt{1 ^{2} - 3} = 1 \pm \sqrt{2} i$ $\displaystyle \alpha = 1 + \sqrt{2} i$일 때, $\displaystyle \frac{3}{\alpha} = \frac{3}{1 + \sqrt{2} i} = \frac{3 ( 1 - \sqrt{2} i )}{( 1 + \sqrt{2} i ) ( 1 - \sqrt{2} i )}$$\displaystyle = \frac{3 ( 1 - \sqrt{2} i )}{3} = 1 - \sqrt{2} i$ $\displaystyle \alpha = 1 - \sqrt{2} i$일 때, 같은 방법으로 $\displaystyle \frac{3}{\alpha} = 1 + \sqrt{2} i$ $\displaystyle \therefore \alpha + \frac{3}{\alpha} = ( 1 + \sqrt{2} i ) + ( 1 - \sqrt{2} i ) = 2$