허근과 나머지 조건

[출제의도] 켤레복소수의 성질을 이용하여 삼차방정식의 해 구하기 조건 (가)에 의하여 $2 + i$가 삼차방정식 $P ( x ) = 0$의 근이므로 $2 - i$도 $P ( x ) = 0$의 근이다. 삼차방정식 $P ( x ) = 0$의 또 다른 한 근을 $\alpha$라 하면 $P ( x ) = x ^{3} - a x ^{2} + b x - c$ $= ( x - 2 - i ) ( x - 2 + i ) ( x - \alpha )$ $= ( x ^{2} - 4 x + 5 ) ( x - \alpha )$ 조건 (나)에 의하여 $P ( 1 ) = 2 ( 1 - \alpha ) = 1$이므로 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}$ 이고 $\displaystyle P ( x ) = ( x ^{2} - 4 x + 5 ) \left( x - \frac{1}{2} \right)$이다. $P ( - 1 ) = - 1 5$이고 $P ( x ) = x ^{3} - a x ^{2} + b x - c$에서 $P ( - 1 ) = - 1 - a - b - c = - 1 5$ 따라서 $a + b + c = 1 4$