대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

허근과 지표 영역 넓이

문제

다음 조건을 만족시키는 실수 a,ba , b에 대하여 점 (a,b)( a , b )가 나타내는 영역의 넓이는? [4점]

(가) 이차방정식 bx2−2ax+4−b=0bx ^{2} - 2 ax + 4 - b = 0은 서로 다른 두 허근을 갖는다. (나) log⁡5b\log 5 b의 지표가 11이다.

①π2\displaystyle \frac{\pi}{2}②π\pi③3π2\displaystyle \frac{3 \pi}{2}④2π2 \pi⑤5π2\displaystyle \frac{5 \pi}{2}

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④

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근의 판별과 상용로그의 지표의 성질을 이용하여 영역의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. (가)에서 이차방정식 bx2−2ax+4−b=0bx ^{2} - 2 ax + 4 - b = 0이 서로 다른 두 허근을 갖기 위한 조건은 D4=(−a)2−b(4−b)<0\displaystyle \frac{D}{4} = ( - a ) ^{2} - b ( 4 - b ) < 0 ∴a2+(b−2)2<4\therefore a ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} < 4 … ㉠ (나)에서 log⁡5b\log 5 b의 지표가 11이므로 1≤log⁡5b<2,10≤5b<1001 \leq \log 5 b < 2 , 10 \leq 5 b < 100이다. ∴ 2≤b<202 \leq b < 20 … ㉡

㉠, ㉡를 동시에 만족하는 영역이 반원이므로 넓이는 2π2 \pi이다.

태그

#판별식#상용로그의 지표#부등식의 영역

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