공통수학1이차방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

허근과 이차함수 조건

문제

이차방정식 x2+x+1=0x ^{2} + x + 1 = 0의 두 근 α\alpha, β\beta에 대하여 이차함수 f(x)=x2+px+qf ( x ) = x ^{2} + px + q가 f(α2)=−4αf \left( \alpha ^{2} \right) = - 4 \alpha와 f(β2)=−4βf \left( \beta ^{2} \right) = - 4 \beta를 만족시킬 때, 두 상수 pp, qq에 대하여 p+qp + q의 값을 구하시오. [4점]

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10

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 α\alpha, β\beta가 이차방정식 x2+x+1=0x ^{2} + x + 1 = 0의 두 근이므로 α2+α+1=0\alpha ^{2} + \alpha + 1 = 0이고 α+β=−1\alpha + \beta = - 1이다. α+1=−β\alpha + 1 = - \beta이므로 α2=β\alpha ^{2} = \beta, β2=α\beta ^{2} = \alpha f(α2)=f(β)=4β+4f \left( \alpha ^{2} \right) = f ( \beta ) = 4 \beta + 4, f(β2)=f(α)=4α+4f \left( \beta ^{2} \right) = f ( \alpha ) = 4 \alpha + 4이므로 f(β)−4β−4=0f ( \beta ) - 4 \beta - 4 = 0, f(α)−4α−4=0f ( \alpha ) - 4 \alpha - 4 = 0 이때, 이차방정식 f(x)−4x−4=0f ( x ) - 4 x - 4 = 0의 두 근이 α\alpha, β\beta이고 f(x)f ( x )의 최고차항의 계수가 11이므로 f(x)−4x−4=(x−α)(x−β)=x2+x+1f ( x ) - 4 x - 4 = ( x - \alpha ) ( x - \beta ) = x ^{2} + x + 1, f(x)=x2+5x+5f ( x ) = x ^{2} + 5 x + 5 따라서 p+q=10p + q = 10 (별해) α\alpha, β\beta가 이차방정식 x2+x+1=0x ^{2} + x + 1 = 0의 두 근이므로 α3=1\alpha ^{3} = 1이고 α2=β\alpha ^{2} = \beta f(α2)=α4+pα2+q=−4αf \left( \alpha ^{2} \right) = \alpha ^{4} + p \alpha ^{2} + q = - 4 \alpha pβ+q=−5αp \beta + q = - 5 \alpha …… ㉠ f(β2)=β4+pβ2+q=−4βf \left( \beta ^{2} \right) = \beta ^{4} + p \beta ^{2} + q = - 4 \beta pα+q=−5βp \alpha + q = - 5 \beta …… ㉡ ㉠++㉡에서 p(α+β)+2q=−5(α+β)p ( \alpha + \beta ) + 2 q = - 5 ( \alpha + \beta )…… ㉢ ㉡−-㉠에서 p(α−β)=5(α−β)p ( \alpha - \beta ) = 5 ( \alpha - \beta )…… ㉣ α+β=−1\alpha + \beta = - 1, α≠β\alpha \ne \beta이므로 ㉢, ㉣에서 p=5p = 5, q=5q = 5 따라서 p+q=10p + q = 10

태그

#근과 계수의 관계#허근#ω의 성질

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