허근 조건 최솟값

[출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 주어진 식의 최소값을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다. $x ^{2} - 2 x + a = 0$이 허근을 가지므로 $\displaystyle \frac{D}{4} = 1 - a < 0$에서 $a - 1 > 0$이다. 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle a - 1 + \frac{4}{a - 1}$$\displaystyle \geq 2 \sqrt{( a - 1 ) \times \frac{4}{( a - 1 )}} = 4$ (단, 등호는 $a = 3$일 때 성립한다.) 따라서 $\displaystyle a - 1 + \frac{4}{a - 1}$의 최소값은 $4$이다.