허근 대입

[출제의도] 근과 계수의 관계를 이해하여 이차방정식의 계수를 구한다. 이차방정식 ${x ^{2} + ax + b = 0}$에서 ${a}$, ${b}$가 실수이고, 한 근이 $\displaystyle {\frac{b}{2} + i}$로 허수이므로 다른 근은 $\displaystyle {\frac{b}{2} + i}$의 켤레복소수인 $\displaystyle {\frac{b}{2} - i}$이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 이차방정식 ${x ^{2} + ax + b = 0}$의 두 근의 합은 ${- a}$이고 두 근의 곱은 ${b}$이다. $\displaystyle {\left( \frac{b}{2} + i \right) + \left( \frac{b}{2} - i \right) = \mathit{-} a}$에서 ${b = \mathit{-} a}$ …… ㉠ $\displaystyle {\left( \frac{b}{2} + i \right) \left( \frac{b}{2} - i \right) = b}$에서 $\displaystyle {\frac{b ^{2}}{4} + 1 = b}$, ${b ^{2} - 4 b + 4 = \left( b - 2 \right) ^{2} = 0}$ ${b = 2}$ ㉠에서 ${a = \mathit{-} 2}$ 따라서 ${ab = \left( - 2 \right) {\times} 2 = \mathit{\mathit{-}} 4}$