공통수학1다항식의 연산수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

합의 세제곱 모형

문제

그림과 같이 넓이가 다른 세 종류의 직사각형 종이 네 장을 이용하여 (a+b)2=a2+2ab+b2( a + b ) ^{2} = a ^{2} + 2 a b + b ^{2} 임을 보일 수 있다. 이와 유사한 방법으로 부피가 다른 몇 종류의 직육면체 나무토막을 이용하여 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3( a + b ) ^{3} = a ^{3} + 3 a ^{2} b + 3 a b ^{2} + b ^{3} 임을 보이고자 한다. 최소로 필요한 나무토막의 종류의 수와 전체의 개수를 순서대로 적은 것은?

[2점] ①3,43 , 4②3,63 , 6③3,83 , 8④4,64 , 6⑤4,84 , 8

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⑤

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해설

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3( a + b ) ^{3} = a ^{3} + 3 a ^{2} b + 3 a b ^{2} + b ^{3}을 보이려면 가로, 세로, 높이가 각각 a+ba + b인 정육면체를 이용하면 된다. 그림을 보면 ①과 같이 세 모서리의 길이가 a,a,aa , a , a인 모양이 11개, ②와 같이 세 모서리의 길이가 a,b,aa , b , a인 모양이 33개, ③과 같이 세 모서리의 길이가 a,b,ba , b , b인 모양이 33개, ④와 같이 세 모서리의 길이가 b,b,bb , b , b인 모양이 11개

따라서 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3( a + b ) ^{3} = a ^{3} + 3 a ^{2} b + 3 a b ^{2} + b ^{3}이 보여진다. 즉 나무토막의 종류의 수는 44가지, 나무토막 전체의 개수는 88개이다.

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#곱셈공식#입체 모형

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