공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수와 항등함수

문제

집합 X={1,2,3}X = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}에 대하여 두 함수 f:X→Xf : X \rightarrow X, g:X→Xg : X \rightarrow X 가 있다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

<보 기>
ㄱ. ff, gg가 모두 항등함수이면 g∘fg \circ f는 항등함수이다. ㄴ. g∘fg \circ f가 항등함수이면 ff, gg는 모두 일대일대응이다. ㄷ. g∘fg \circ f가 항등함수이면 ff, gg는 모두 항등함수이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 항등함수의 성질을 이용하여 합성함수의 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. 모든 x∈Xx \in X에 대하여 f(x)=g(x)=xf ( x ) = g ( x ) = x이므로 (g∘f)(x)=g(f(x))=g(x)=x( g \circ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( x ) = x ∴ g∘fg \circ f는 항등함수 (참) ㄴ. g∘fg \circ f가 항등함수이면 모든 x∈Xx \in X에 대하여 g(f(x))=xg ( f ( x ) ) = x 즉 ff의 역함수는 gg이고 gg의 역함수는 ff이다. ff, gg는 모두 역함수가 존재하므로 일대일대응이다. ㄷ. [반례] 다음에서 g∘fg \circ f가 항등함수이지만 ff, gg는 모두 항등함수가 아니다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

태그

#합성함수#일대일대응

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