합성함수의 역함수 존재

$\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} \begin{matrix} - x + 2 \\ x \end{matrix} & \begin{matrix} ( x \geq 1 ) \\ ( - 1 \leq x < 1 ) \end{matrix} \\ - x - 2 & ( x < - 1 ) \end{cases}}$ $g \circ f$가 실수 전체에서 정의된 역함수를 가지려면 $g \circ f$가 연속인 경우는 증가 또는 감소함수여야 한다. $\left| x \right| \geq 1$일 때 $f ( x )$는 증가하고 $g ( x )$는 감소하므로 $g ( f ( x ) )$는 감소함수여야 한다. $\cdots \text{㉠}$ 또한 $x = 0$의 근방에서 $g ( x )$는 증가하므로 ㉠을 만족하려면 $f ( x ) = bx$는 감소해야 한다. $\therefore b < 0$ $g \circ f$가 연속이려면 $x = - 1 , 1$에서 연속임을 보이면 된다. ⅰ) $x = - 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 -} {} g ( f ( x ) ) = g ( - 1 + a ) = - 1 - a$ $\displaystyle \left( \because \lim\limits _{x \rightarrow - 1 -} {} f ( x ) = - 1 + a < - 2 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} {} g ( f ( x ) ) = g ( - b ) = - b$ $\displaystyle \left( \because 0 < \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} {} f ( x ) = - b \leq 1 \right)$ 연속이려면 $- 1 - a = - b$ $\therefore a = b - 1$ ⅱ) $x = 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} g ( f ( x ) ) = g ( b ) = b$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} g ( f ( x ) ) = g ( 1 + c ) = 1 - c$ $\displaystyle \left( \because \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} f ( x ) = 1 + c > 2 \right)$ 연속이려면 $b = 1 - c$ $\therefore c = 1 - b$ ⅰ), ⅱ)에서 $a + b + 2 c = ( b - 1 ) + b + 2 ( 1 - b ) = 1$