합성함수의 상등을 만족하는 계수

$f ( f ( 1 ) ) = f ( f ( 2 ) ) = f ( f ( 3 ) ) = k$라 하면 함수 $f ( x )$는 이차함수이므로 $f ( x ) = k$인 $x$값은 최대 $2$개다. 따라서 $f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 )$중 $2$개는 같은 값이어야 한다. 1) $f ( 1 ) = f ( 3 )$인 경우 $a + c - 8 = 9 a + c - 24$, $a = 2$ 2) $f ( 1 ) = f ( 2 )$인 경우 $a + c - 8 = 4 a + c - 16$, $\displaystyle a = \frac{8}{3}$ 3) $f ( 2 ) = f ( 3 )$인 경우 $4 a + c - 16 = 9 a + c - 24$, $\displaystyle a = \frac{8}{5}$ $a$가 정수이므로 $f ( 1 ) = f ( 3 )$이고 대칭축은 $x = 2$이다. 또한, $f ( f ( 1 ) ) = f ( f ( 2 ) )$이므로 $f ( 1 )$과 $f ( 2 )$는 $x = 2$에 대하여 대칭이다. 즉, $\displaystyle \frac{f ( 1 ) + f ( 2 )}{2} = 2$, $\therefore c = 9$ 따라서, $a + 2 c = 20$