합성함수 실근 조건

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 함수의 극댓값과 극솟값의 합을 구하는 문제를 해결한다. 함수 $f ( x )$의 삼차항의 계수를 $a$라 하면 조건 (가)에 의해 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 $x$축이 서로 다른 세 점에서 만나므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 $f ( x )$는 삼차함수이므로 실수 전체의 집합을 치역으로 갖고, 이차함수 $g ( x )$$= x ^{2} - 6 x + 10$$= \left( x - 3 \right) ^{2} + 1$은 $x = 3$에서 최솟값 $1$을 갖는다. 그러므로 조건 (나)에서 함수 $g ( f ( x ) )$$= \left\{ f ( x ) - 3 \right\} ^{2} + 1$은 $f ( x ) = 3$인 $x$에서 최솟값 $1$을 가지므로 $m = 1$ 한편, 방정식 $g ( f ( x ) )$$= 1$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$이므로 방정식 $f ( x ) = 3$을 만족시키는 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 그러므로 직선 $y = 3$과 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

즉, 함수 $f ( x )$의 극댓값은 $3$ 조건 (다)의 방정식 $g ( f ( x ) )$$= 17$을 풀면 $\left\{ f ( x ) - 3 \right\} ^{2} + 1$$= 17$, $\left\{ f ( x ) - 3 \right\} ^{2} = 16$ $f ( x ) = \mathit{-} 1$ 또는 $f ( x ) = 7$ 조건 (다)에서 방정식 $g ( f ( x ) ) = 17$은 서로 다른 세 실근을 갖고 위의 그래프에서 방정식 $f ( x ) = 7$의 실근의 개수를 유추하면 $1$이므로 방정식 $f ( x ) = \mathit{-} 1$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다. 그러므로 세 직선 $y = \mathit{-} 1$, $y = 3$, $y = 7$과 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

즉, 함수 $f ( x )$의 극솟값은 $- 1$ 따라서 함수 $f ( x )$의 극댓값은 $3$, 극솟값은 $- 1$이므로 그 합은 $3 + \left( - 1 \right)$$= 2$