공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 나누어떨어짐 빈칸

문제

함수 f(x)=x2−(k+1)x+2kf ( x ) = x ^{2} - \left( k + 1 \right) x + 2 k (kk는 22가 아닌 실수)에 대하여 함수 g(x)g ( x )를 g(x)=(f∘f)(x)g ( x ) = \left( f \circ f \right) ( x ) 라 하자. 다음은 다항식 g(x)−xg ( x ) - x는 다항식 f(x)−xf ( x ) - x로 나누어떨어짐을 보이는 과정이다.

모든 실수 xx에 대하여 f(x)−xf ( x ) - x=(x−k)(□(가))= \left( x - k \right) \left( {\square {{}^{} ( \text{가} ) ^{}}} \right) 이다. 함수 g(x)g ( x )=(f∘f)(x)= \left( f \circ f \right) ( x )=f(f(x))= f ( f ( x ) )에 대하여 g(k)g ( k )=f(f(k))= f ( f ( k ) )=□(나)= {\square {{}^{} ( \text{나} ) ^{}}} g(2)g ( 2 )=f(f(2))= f ( f ( 2 ) )=□(다)= {\square {{}^{} ( \text{다} ) ^{}}} 다항식 g(x)−xg ( x ) - x는 x−kx - k와 □(가){\square {{}^{} ( \text{가} ) ^{}}}(을/를) 인수로 가지므로 다항식 g(x)−xg ( x ) - x는 다항식 f(x)−xf ( x ) - x로 나누어떨어진다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 p(x)p ( x ), q(k)q ( k )라 하고, (다)에 알맞은 수를 aa라 할 때, p(5)+q(4)+ap ( 5 ) + q ( 4 ) + a의 값은? [4점] ①99②1010③1111④1212⑤1313

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①

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해설

[출제의도] 인수정리를 이용하여 주어진 성질이 성립함을 추론한다. 함수 f(x)=x2−(k+1)x+2kf ( x ) = x ^{2} - ( k + 1 ) x + 2 k (kk는 22가 아닌 실수)에서 모든 실수 xx에 대하여 f(x)−xf ( x ) - x=x2−(k+2)x+2k= x ^{2} - \left( k + 2 \right) x + 2 k=(x−k)(□x−2)= \left( x - k \right) \left( {\square {x - 2}} \right) 이다. 이때 f(k)−k=0f ( k ) - k = 0, f(2)−2=0f ( 2 ) - 2 = 0에서 f(k)=kf ( k ) = k, f(2)=2f ( 2 ) = 2 함수 g(x)g ( x )=(f∘f)(x)= ( f \circ f ) ( x )=f(f(x))= f ( f ( x ) )에 대하여 g(k)g ( k )=f(f(k))= f ( f ( k ) )=f(k)= f ( k )=□k= {\square {k}} g(2)g ( 2 )=f(f(2))= f ( f ( 2 ) )=f(2)= f ( 2 )=□2= {\square {2}} g(k)−k=0g ( k ) - k = 0, g(2)−2=0g ( 2 ) - 2 = 0에서 다항식 g(x)−xg ( x ) - x는 x−kx - k와 □x−2{\square {x - 2}}를 인수로 가지므로 다항식 g(x)−xg ( x ) - x는 다항식 (x−k)(x−2)\left( x - k \right) \left( x - 2 \right), 즉 f(x)−xf ( x ) - x로 나누어떨어진다. p(x)=x−2p ( x ) = x - 2, q(k)q ( k )=k= k, a=2a = 2이므로 p(5)+q(4)+ap ( 5 ) + q ( 4 ) + a=3+4+2= 3 + 4 + 2=9= 9

태그

#빈칸추론#인수정리

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