미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 미분계수

문제

함수 f(x)f \left( x \right)가 f(cos⁡x)=sin⁡2x+tan⁡xf ( \cos x ) = \sin 2 x + \tan x (0<x<π2)\displaystyle \left( 0 < x < \frac{\pi}{2} \right) 를 만족시킬 때, f′(12)\displaystyle f' \left( \frac{1}{2} \right)의 값은? [4점] ①−23\displaystyle - 2 \sqrt{3}②−3\displaystyle - \sqrt{3}③00④3\displaystyle \sqrt{3}⑤23\displaystyle 2 \sqrt{3}

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①

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해설

[출제의도] 합성함수의 미분법 이해하기 f(cos⁡x)=sin⁡2x+tan⁡xf ( \cos x ) = \sin 2 x + \tan x의 양변을 미분하면, −sin⁡x⋅f′(cos⁡x)=2cos⁡2x+sec⁡2x- \sin x \cdot f' ( \cos x ) = 2 \cos 2 x + \sec ^{2} x x=π3\displaystyle x = \frac{\pi}{3}일 때, cos⁡x=12\displaystyle \cos x = \frac{1}{2}이므로 −32f′(12)=2(−12)+4\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2} f' \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \left( - \frac{1}{2} \right) + 4 ∴\thereforef′(12)=−23\displaystyle f' \left( \frac{1}{2} \right) = - 2 \sqrt{3}

태그

#합성함수 미분#삼각함수

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