미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성함수 미분계수

문제

함수 f(x)=2xln⁡2\displaystyle f ( x ) = \frac{2 ^{x}}{\ln 2}과 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 g(x)g ( x )가 다음 조건을 만족시킬 때, g(2)g ( 2 )의 값은? [3점]

(가) lim⁡h→0g(2+4h)−g(2)h=8\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{g ( 2 + 4 h ) - g ( 2 )}{h} = 8 (나) 함수 (f∘g)(x)( f \circ g ) ( x )의 x=2x = 2에서의 미분계수는 1010이다.

①11②log⁡23\log _{2} 3③22④log⁡25\log _{2} 5⑤log⁡26\log _{2} 6

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④

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해설

[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가? 조건 (가)에서 lim⁡h→0g(2+4h)−g(2)h\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{g \left( 2 + 4 h \right) - g ( 2 )}{h}=lim⁡h→0{g(2+4h)−g(2)h×4}\displaystyle = \lim\limits _{h\rightarrow 0} \left\{ \frac{g \left( 2 + 4 h \right) - g ( 2 )}{h} \times 4 \right\}=4g′(2)= 4 g' ( 2 )=8= 8 따라서 g′(2)=2g' ( 2 ) = 2이다. 또한 조건 (나)에서 f′(g(2))×g′(2)=10f' \left( g ( 2 ) \right) \times g' ( 2 ) = 10이므로 f′(g(2))=5f' \left( g ( 2 ) \right) = 5 그런데 f′(x)=2xf' ( x ) = 2 ^{x}이므로 f′(g(2))=2g(2)=5f' \left( g ( 2 ) \right) = 2 ^{g ( 2 )} = 5 따라서 g(2)=log⁡25g ( 2 ) = \log _{2} 5

태그

#합성함수의 미분법#지수함수

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