미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성함수 미분계수

문제

함수 f(x)=e−xf ( x ) = e ^{- x}과 함수 g(x)g ( x )가 모든 양수 xx에 대하여 (g∘f)(x)=sin⁡πx\left( g \circ f \right) ( x ) = \sin \pi x를 만족시킬 때, g′(1e)\displaystyle g' \left( \frac{1}{e} \right)의 값은? [3점]

①−eπ- e \pi②−eπ\displaystyle - \frac{e}{\pi}③eπ\displaystyle \frac{e}{\pi}④πe\displaystyle \frac{\pi}{e}⑤eπe \pi

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⑤

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해설

[출제의도] 이해능력-미분법 (g∘f)(x)=sin⁡πx( g \circ f ) ( x ) = \sin \pi x, 즉 g(f(x))=sin⁡πxg ( f ( x ) ) = \sin \pi x의 양변을 xx에 대하여 미분하면 g′(f(x))f′(x)=πcos⁡πxg' ( f ( x ) ) f' ( x ) = \pi \cos \pi x --(ㄱ) 이때 f(1)=e−1=1e\displaystyle f ( 1 ) = e ^{- 1} = \frac{1}{e}이므로 (ㄱ)의 양변에 x=1x = 1을 대입하면 g′(f(1))f′(1)=πcos⁡π=−πg' ( f ( 1 ) ) f' ( 1 ) = \pi \cos \pi = - \pi --(ㄴ) 이때 f′(x)=−e−xf' ( x ) = - e ^{- x}에서 f′(1)=−e−1=−1e\displaystyle f' ( 1 ) = - e ^{- 1} = - \frac{1}{e} 이므로 (ㄴ)에서 g′(1e)×(−1e)=−π\displaystyle g' \left( \frac{1}{e} \right) \times \left( - \frac{1}{e} \right) = - \pi 따라서 g′(1e)=eπ\displaystyle g' \left( \frac{1}{e} \right) = e \pi

태그

#합성함수의 미분#지수함수

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