합성함수 조건과 이차함수

[출제의도] 이차함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다. $f ( x ) = x ^{2} - 2 x + a$에서 $f ( 2 ) = 2 ^{2} - 4 + a = a$ $f ( 4 ) = 4 ^{2} - 8 + a = a + 8$ $\left( f \circ f \right) ( 2 ) = \left( f \circ f \right) ( 4 )$에서 $f ( f ( 2 ) ) = f ( f ( 4 ) )$ $f ( a ) = f ( a + 8 )$ 이때 함수 $f ( x ) = x ^{2} - 2 x + a$에서 $f ( x ) = \left( x - 1 \right) ^{2} + a - 1$ 이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 축이 직선 $x = 1$이고, 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이다. $a \ne a + 8$이므로 $f ( a ) = f ( a + 8 )$이려면 $\displaystyle \frac{a + \left( a + 8 \right)}{2} = 1$ $a = \mathit{-} 3$ 따라서 함수 $f ( x )$가 $f ( x ) = x ^{2} - 2 x - 3$이므로 $f ( 6 )$$= 6 ^{2} - 2 \times 6 - 3$$= 21$ [다른 풀이] $f ( x ) = x ^{2} - 2 x + a$에서 $f ( 2 ) = 2 ^{2} - 4 + a = a$ $f ( 4 ) = 4 ^{2} - 8 + a = a + 8$ $\left( f \circ f \right) ( 2 ) = \left( f \circ f \right) ( 4 )$에서 $f ( f ( 2 ) ) = f ( f ( 4 ) )$ $f ( a ) = f ( a + 8 )$ $a ^{2} - 2 a + a$$= \left( a + 8 \right) ^{2} - 2 \left( a + 8 \right) + a$ $16 a = \mathit{-} 48$ $a = \mathit{-} 3$ 따라서 함수 $f ( x )$가 $f ( x ) = x ^{2} - 2 x - 3$이므로 $f ( 6 )$$= 6 ^{2} - 2 \times 6 - 3$$= 21$