합성함수 조건을 만족하는 함수의 개수

$\{ {1 , 2 , 3 \} \subset}$$f ( f ( X ) ) \subset f ( X )$ 이다. (i) $f ( X ) = X$ 인 경우 : $5 ! = 120$ 가지 모두 가능하다. (ii) $f ( X ) = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \}$인 경우 ① $f ( f ( X ) ) = \{ 1 , 2 , 3 \}$ 일 때, $f ( 5 ) = 4$인 것은 분명하고, {1,2,3,4}$\rightarrow${1,2,3} 인 경우는 $\displaystyle 3 \times \frac{4 !}{2 !} = 36$ 가지 ② $f ( f ( X ) ) = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \}$ $f ( 5$)의 값은 1,2,3,4 --- 4가지 모두 가능하고 {1,2,3,4}$\rightarrow${1,2,3,4} 에서 4!$= 24$이므로 $4 \times 24 = 96$ 가지 (iii) $f ( X )$$= \{ 1 , 2 , 3 , 5 \}$ 인 경우도 (ii)와 마찬가지이다. (iv) $f ( X ) = \{ 1 , 2 , 3 \}$인 경우 $f ( f ( X ) ) = \{ 1 , 2 , 3 \}$이므로 $f ( 4 )$, $f ( 5$)의 값은 1,2,3 --- 각각 3가지 모두 가능하고 {1,2,3}$\rightarrow${1,2,3} 에서 $3 ! = 6$ 이므로 $3 \times 3 \times 3 ! = 54$ 가지 따라서 구하려는 함수 $f$의 개수는 $120 + 2 ( 36 + 96 ) + 54$$= 438$