합성함수 조건 집합 개수

[출제의도] 합성함수에 관련된 주어진 조건을 그래프를 이용하여 이해할 수 있는가? $g ( a ) = f ( a )$, $g ( b ) = f ( b )$에서 $f ( f ( a ) ) = f ( a )$, $f ( f ( b ) ) = f ( b )$ 이때, $f ( a ) = k$라 하면 $f ( k ) = k$ 그러므로 $k$는 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = x$가 만나는 점의 $x$좌표이다.

이때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = x$가 만나는 점 중 원점이 아닌 점의 $x$좌표를 위의 그림과 같이 $\alpha , \beta , \gamma$ ($0 < \alpha < \beta < \gamma$)라 하자. 이제, $f ( x )$의 값이 $0 , \alpha , \beta , \gamma$인 경우를 나타내면 다음과 같다.

(ⅰ) $f ( x ) = 0$인 경우 $x$의 값은 $0$이다. (ⅱ) $f ( x ) = \alpha$인 경우 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = \alpha$는 그림과 같이 세 점에서 만난다. 이때, $x \ne \alpha$인 값을 $x _{1} , x _{2}$ ($x _{1} < \alpha < x _{2}$)라 하면 $x$의 값은 $x _{1} , \alpha , x _{2}$이다. (ⅲ) $f ( x ) = \beta$인 경우 함수 $y = f ( x )$인 그래프와 직선 $y = \beta$는 그림과 같이 세 점에서 만난다. 이때, $x \ne \beta$인 값을 $y _{1} , y _{2}$ ($y _{1} < y _{2} < \beta$)라 하면 $x$의 값은 $y _{1} , y _{2} , \beta$이다. (ⅳ) $f ( x ) = \gamma$인 경우 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = \gamma$는 그림과 같이 네 점에서 만난다. 이때, $x \ne \gamma$인 값을 $z _{1} , z _{2} , z _{3}$ ($z _{1} < z _{2} < z _{3} < \gamma$)라 하면 $x$의 값은 $z _{1} , z _{2} , z _{3} , \gamma$이다. 이때, 함수 $g ( x ) = f ( f ( x ) )$가 집합 $X$에서 $X$로의 함수이어야 하므로 다음 각 경우로 나눌 수 있다. (a) $f ( x )$의 값이 $0 , \alpha , \beta , \gamma$의 값 중 서로 다른 두 값을 갖도록 $a , b$를 정하는 경우 이 경우 $f ( x ) = 0$, $f ( x ) = \alpha$, $f ( x ) = \beta$, $f ( x ) = \gamma$인 $x$의 값은 각각 $0 , \alpha , \beta , \gamma$이어야 한다. 즉, 두 수 $a , b$는 $0 , \alpha , \beta , \gamma$에서 서로 다른 두 수를 택해야 하므로 집합 $X$의 개수는 $\displaystyle {} _{4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ (b) $f ( x )$의 값이 $0 , \alpha , \beta , \gamma$의 값 중 하나의 값만 갖도록 $a , b$를 정하는 경우 $f ( x ) = 0$일 때는 두 수 $a , b$를 결정할 수 없다. $f ( x ) = \alpha$일 때는 두 수 $a , b$는 $x _{1} , \alpha , x _{2}$ 중 $\alpha$를 반드시 포함하여 두 수를 택해야 하므로 집합 $X$의 개수는 $2$이다. $f ( x ) = \beta$인 경우 두 수 $a , b$는 $y _{1} , y _{2} , \beta$ 중 $\beta$를 반드시 포함하여 두 수를 택해야 하므로 집합 $X$의 개수는 $2$이다. $f ( x ) = \gamma$인 경우 두 수 $a , b$는 $z _{1} , z _{2} , z _{3} , \gamma$ 중 $\gamma$를 반드시 포함하여 두 수를 택해야 하므로 집합 $X$의 개수는 $3$이다. 그러므로 집합 $X$의 개수는 $7$이다. 따라서 (a), (b)에서 구하는 집합 $X$의 개수는 $6 + 7 = 13$