합성함수 조건 보기

ㄱ. 조건 (가)에 의하여 $f ( f ( 4 ) ) \leq 1$이므로 $f ( f ( 4 ) ) = 1$이다. (참) ㄴ. (ⅰ) $f ( 4 ) = 1$일 때 $f ( f ( 4 ) ) = f ( 1 ) = 1$이므로 $f ( 1 ) = 1$이다. ① $f ( 3 ) = 1$이면 함수 $f$의 치역이 $\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$가 될 수 없으므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. ② $f ( 3 ) = 2$이면 함수 $f$의 치역이 $\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$이므로 $f ( 2 ) = 4$이고 $f ( f ( 3 ) ) = f ( 2 ) = 4 > 2$가 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다. ③ $f ( 3 ) = 4$이면 함수 $f$의 치역이 $\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$이므로 $f ( 2 ) = 2$이고 $f ( f ( 1 ) ) = f ( 1 ) = 1$, $f ( f ( 2 ) ) = f ( 2 ) = 2$, $f ( f ( 3 ) ) = f ( 4 ) = 1$이 되어 조건을 만족시킨다. (ⅱ) $f ( 4 ) = 2$일 때 $f ( f ( 4 ) ) = f ( 2 ) = 1$이므로 $f ( 2 ) = 1$이다. ① $f ( 3 ) = 1$이면 함수 $f$의 치역이 $\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$이므로 $f ( 1 ) = 4$이고 $f ( f ( 2 ) ) = f ( 1 ) = 4 > 3$이 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다. ② $f ( 3 ) = 2$이면 함수 $f$의 치역이 $\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$이므로 $f ( 1 ) = 4$이고 $f ( f ( 2 ) ) = f ( 1 ) = 4 > 3$이 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다. ③ $f ( 3 ) = 4$일 때 $f ( 1 ) = 1$이면 $f ( f ( 1 ) ) = f ( 1 ) = 1$, $f ( f ( 2 ) ) = f ( 1 ) = 1$, $f ( f ( 3 ) ) = f ( 4 ) = 2$가 되어 조건을 만족시킨다. $f ( 1 ) = 2$이면 $f ( f ( 1 ) ) = f ( 2 ) = 1$, $f ( f ( 2 ) ) = f ( 1 ) = 2$, $f ( f ( 3 ) ) = f ( 4 ) = 2$ 가 되어 조건을 만족시킨다. $f ( 1 ) = 4$이면 $f ( f ( 2 ) ) = f ( 1 ) = 4 > 3$이 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $f ( 4 ) = 4$일 때 $f ( f ( 4 ) ) = f ( 4 ) = 4 \neq 1$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 가능한 모든 함수 $f$에 대하여 $f ( 3 ) = 4$이다. (참) ㄷ. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 가능한 함수 $f$의 개수는 $\mathrm{3}$이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ다.