미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 접선이 원점 지남

문제

미분가능한 함수 f(x)f ( x )와 함수 g(x)=sin⁡xg ( x ) = \sin x에 대하여 합성함수 y=(g∘f)(x)y = ( g \circ f ) ( x )의 그래프 위의 점 (1,(g∘f)(1))( 1 , ( g \circ f ) ( 1 ) )에서의 접선이 원점을 지난다. lim⁡x→1f(x)−π6x−1=k\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{f ( x ) - \frac{\pi}{6}}{x - 1} = k 일 때, 상수 kk에 대하여 30k230 k ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

f(1)=π6\displaystyle f ( 1 ) = \frac{\pi}{6} f′(1)=kf' ( 1 ) = k g′(x)=cos⁡xg' ( x ) = \cos x g′(f(1))=g′(π6)=cos⁡π6=32\displaystyle g' ( f ( 1 ) ) = g' \left( \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6} = {\frac{\sqrt{3}}{2}} g(f(1))=12\displaystyle g ( f ( 1 ) ) = \frac{1}{2} (1,12)\displaystyle \left( 1 , \frac{1}{2} \right)에서의 접선은 y=g′(f(1))⋅f′(1)(x−1)+12\displaystyle y = g' ( f ( 1 ) ) \cdot f' ( 1 ) ( x - 1 ) + \frac{1}{2} y=32⋅k(x−1)+12\displaystyle y = {\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot k ( x - 1 ) + \frac{1}{2}}이 (0,0)( 0 , 0 )을 지난다. 0=−32k+12\displaystyle 0 = - \frac{\sqrt{3}}{2} k + \frac{1}{2} ∴k=13\displaystyle \therefore k = \frac{1}{\sqrt{3}} 30k2=30×13=10\displaystyle 30 k ^{2} = 30 \times \frac{1}{3} = 10

태그

#합성함수의 미분법#접선

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