합성함수 이계도함수

$\displaystyle g ( x ) = \left| 2 \sin ( x + 2 \left| x \right| ) + 1 \right| = {\begin{cases} \left| 2 \sin 3 x + 1 \right| ( x \geq 0 ) \\ \left| - 2 \sin x + 1 \right| ( x < 0 ) \end{cases}}$이므로 함수 $g ( x )$는 실수 전체의 집합에서 연속이고, $x = 0$과 $g ( x ) = 0$을 만족시키는 $x$의 값에서 미분가능하지 않다. 또, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {g' ( x ) = 6 , \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {g' ( x ) = - 2}}$이다. (ⅰ) 함수 $h ( x )$가 $x = 0$에서 미분가능하려면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} h' ( x )$가 성립해야한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f' ( g ( x ) ) g' ( x ) = f' ( 1 ) g' ( 0 ) = 6 f' ( 1 )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f' ( g ( x ) ) g' ( x ) = f' ( 1 ) g' ( 0 ) = - 2 f' ( 1 )$ 즉, $h' ( 0 ) = 6 f' ( 1 ) = - 2 f' ( 1 )$ 이므로 $\therefore f' ( 1 ) = 0 \cdots \text{㉠}$ (ⅱ) $g ( x ) = 0$을 만족시키는 $x$의 값을 $\alpha$라 하자. 함수 $h ( x )$가 $x = \alpha$에서 미분가능하려면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha +} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha -} {} h' ( x )$가 성립해야한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha +} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha +} {} f' ( g ( x ) ) g' ( x ) = f' ( 0 ) \times k$ (단, $k$는 양의 상수) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha -} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha -} {} f' ( g ( x ) ) g' ( x ) = f' ( 0 ) \times ( - k )$ 즉, $k f' ( 0 ) = - kf' ( 0 )$ 이므로 $\therefore f' ( 0 ) = 0 \cdots \text{㉡}$ (ⅲ) 함수 $h' ( x )$가 $x = 0$에서 미분가능하려면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} h'' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} h'' ( x )$가 성립해야한다. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0+} h'' ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left\{ f'' ( g ( x ) ) \left\{ g' ( x ) \right\} ^{2} + f' ( g ( x ) ) g'' ( x ) \right\}$ $= f'' ( 1 ) \left\{ g' ( 0 ) \right\} ^{2} + f' ( 1 ) g'' ( 0 ) = 36 f'' ( 1 )$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0+} h'' ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left\{ f'' ( g ( x ) ) \left\{ g' ( x ) \right\} ^{2} + f' ( g ( x ) ) g'' ( x ) \right\}$ $= f'' ( 1 ) \left\{ g' ( 0 ) \right\} ^{2} + f' ( 1 ) g'' ( 0 ) = 4 f'' ( 1 )$ 즉, $h'' ( 0 ) = 36 f'' ( 1 ) = 4 f'' ( 1 )$ 이므로 $\therefore f'' ( 1 ) = 0 \cdots \text{㉢}$ (ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)에서 함수 $f' ( x )$는 최고차항의 계수가 4인 삼차함수이고, ㉠, ㉡, ㉢에서 $f' ( 1 ) = 0 , f' ( 0 ) = 0 , f'' ( 1 ) = 0$ 이므로 $f' ( x ) = 4 x ( x - 1 ) ^{2}$ 이 됨을 알 수 있다. $f' ( 3 ) = 4 \times 3 \times 2 ^{2} = 48$