미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 이계도함수

문제

두 함수 f(x)f \left( x \right), g(x)g \left( x \right)가 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고 g(x)g \left( x \right)가 증가함수일 때, 함수 h(x)h \left( x \right)를 h(x)=(f∘g)(x)h \left( x \right) = \left( f \circ g \right) \left( x \right) 라 하자. 점 (2,2)\left( 2 , 2 \right)가 곡선 y=g(x)y = g \left( x \right)의 변곡점이고 h′′(2)f′′(2)=4\displaystyle \frac{h'' \left( 2 \right)}{f'' \left( 2 \right)} = 4이다. f′(2)=4f' \left( 2 \right) = 4일 때, h′(2)h' \left( 2 \right)의 값은? [4점] ①88②1010③1212④1414⑤1616

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①

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해설

점 (2,2)( 2 , 2 )가 곡선 y=g(x)y = g ( x )의 변곡점이므로 g(2)=2g ( 2 ) = 2, g′′(2)=0g'' ( 2 ) = 0 h′(x)=f′(g(x))g′(x)h' ( x ) = f' ( g ( x ) ) g' ( x ) h′′(x)=f′′(g(x)){g′(x)}2+f′(g(x))g′′(x)h'' ( x ) = f'' ( g ( x ) ) \left\{ g' ( x ) \right\} ^{2} + f' ( g ( x ) ) g'' ( x ) h′′(2)=f′′(g(2)){g′(2)}2+f′(g(2))g′′(2)h'' ( 2 ) = f'' ( g ( 2 ) ) \left\{ g' ( 2 ) \right\} ^{2} + f' ( g ( 2 ) ) g'' ( 2 )=f′′(2){g′(2)}2= f'' ( 2 ) \left\{ g' ( 2 ) \right\} ^{2} h′′(2)f′′(2)=4\displaystyle \frac{h'' ( 2 )}{f'' ( 2 )} = 4이므로 {g′(2)}2=4\left\{ g' ( 2 ) \right\} ^{2} = 4 g(x)g ( x )가 증가함수이므로 g′(2)=2g' ( 2 ) = 2 따라서 h′(2)=f′(g(2))g′(2)=f′(2)g′(2)=8h' ( 2 ) = f' ( g ( 2 ) ) g' ( 2 ) = f' ( 2 ) g' ( 2 ) = 8

태그

#합성함수 미분#변곡점

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