합성함수 교점 개수

[출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 그래프와 직선이 만나는 점의 개수를 추론한다. $f ( x ) = x ^{2} e ^{- x + 2}$에서 $f' ( x ) = ( - x ^{2} + 2 x ) e ^{- x + 2}$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ $y = ( f \circ f ) ( x )$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = f' ( f ( x ) ) f' ( x )$ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0$인 $x$의 값을 구하면 (ⅰ) $f' ( x ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ (ⅱ) $f' ( f ( x ) ) = 0$에서 $f ( x ) = 0$일 때, $x = 0$ $f ( x ) = 2$일 때, $x = \alpha$ 또는 $x = \beta$ 또는 $x = \gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$)로 놓으면 함수 $y = ( f \circ f ) ( x )$의 증가와 감소를 나타낸 표는 다음과 같다.

위의 표를 이용하여 함수 $y = ( f \circ f ) ( x )$의 그래프를 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $y = ( f \circ f ) ( x )$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{15}{e ^{2}}$가 만나는 점의 개수는 $4$이다.