미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 극한으로 미분계수 구하기

문제

f(1)=1f ( 1 ) = 1인 다항함수 f(x)f ( x )에 대하여 lim⁡x→1f(x9)−x9x−1=9\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{f ( x ^{9} ) - x ^{9}}{x - 1} = 9일 때, f′(1)f' ( 1 )은? ①−2- 2②−1- 1③00④11⑤22

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⑤

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해설

lim⁡x→1f(x9)−x9x−1=lim⁡x→1f(x9)−f(1)−x9+1x−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x ^{9} ) - x ^{9}}{x - 1}} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x ^{9} ) - f ( 1 ) - x ^{9} + 1}{x - 1}} =lim⁡x→1f(x9)−f(1)x9−1×x9−1x−1−lim⁡x→1x9−1x−1\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x ^{9} ) - f ( 1 )}{x ^{9} - 1}} \times \frac{x ^{9} - 1}{x - 1} - \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{x ^{9} - 1}{x - 1} =f′(1)×(x9)x=1′−(x9)x=1′= f' ( 1 ) \times \left( x ^{9} \right)' _{x = 1} - \left( x ^{9} \right)' _{x = 1} =9f′(1)−9=9= 9 f' ( 1 ) - 9 = 9 ∴f′(1)=2\therefore f' ( 1 ) = 2 [별해] 로피탈의 정리를 이용하면 lim⁡x→1f(x9)−x9x−1=lim⁡x→1f′(x9)9x8−9x81\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x ^{9} ) - x ^{9}}{x - 1}} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f' ( x ^{9} ) 9 x ^{8} - 9 x ^{8}}{1}}=9⋅f′(1)−9= 9 \cdot f' ( 1 ) - 9 =9= 9 ∴f′(1)=2\therefore f' ( 1 ) = 2

태그

#미분계수의 정의#극한#로피탈의 정리

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