미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성함수 극한

문제

다항함수 f(x)f ( x )가 lim⁡x→0xf(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{x}{f ( x )} = 1, lim⁡x→1x−1f(x)=2\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{x - 1}{f ( x )} = 2를 만족시킬 때, lim⁡x→1f(f(x))2x2−x−1\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{f ( f ( x ) )}{2 x ^{2} - x - 1}의 값은? [3점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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①

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해설

lim⁡x→1f(f(x))2x2−x−1=lim⁡x→1f(f(x))f(x)⋅f(x)2x2−x−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( f ( x ) )}{2 x ^{2} - x - 1}} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( f ( x ) )}{f ( x )}} \cdot \frac{f ( x )}{2 x ^{2} - x - 1} =lim⁡t→0f(t)t⋅lim⁡x→1(f(x)x−1⋅12x+1)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0} {\frac{f ( t )}{t}} \cdot \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left( \frac{f ( x )}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x + 1} \right)} =1⋅12⋅13=16\displaystyle = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} (f(x)=t라하면x→1↔t→0)( f ( x ) = t \text{라} \text{하면} x \rightarrow 1 \leftrightarrow t \rightarrow 0 )

태그

#극한#치환

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