공통수학2함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합성함수 등식

문제

두 함수 f(x)=x+af \left( x \right) = x + a g(x)={2x−6(x<a)x2(x≥a)\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} 2 x - 6 _{{} _{}} & \left( x < a \right) _{{} _{}} \\ x ^{2 ^{{} ^{}}} & \left( x \geq a \right) ^{{} ^{}} \end{cases}} 에 대하여 (g∘f)(1)+(f∘g)(4)=57\left( g \circ f \right) \left( 1 \right) + \left( f \circ g \right) \left( 4 \right) = 57을 만족시키는 모든 실수 aa의 값의 합을 SS라 할 때, 10S210 S ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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40

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해설

[출제의도] 함수의 성질을 이용하여 추론하기 (g∘f)(1)=g(a+1)=(a+1)2\left( g \circ f \right) \left( 1 \right) = g \left( a + 1 \right) = \left( a + 1 \right) ^{2} a≤4a \leq 4일 때 (f∘g)(4)=f(16)=a+16\left( f \circ g \right) \left( 4 \right) = f \left( 16 \right) = a + 16 (g∘f)(1)+(f∘g)(4)=a2+3a+17=57\left( g \circ f \right) \left( 1 \right) + \left( f \circ g \right) \left( 4 \right) = a ^{2} + 3 a + 17 = 57 a2+3a−40=(a−5)(a+8)=0a ^{2} + 3 a - 40 = \left( a - 5 \right) \left( a + 8 \right) = 0 a=−8a = \mathit{-} 8 a>4a > 4일 때 (f∘g)(4)=f(2)=a+2\left( f \circ g \right) \left( 4 \right) = f \left( 2 \right) = a + 2 (g∘f)(1)+(f∘g)(4)=a2+3a+3=57\left( g \circ f \right) \left( 1 \right) + \left( f \circ g \right) \left( 4 \right) = a ^{2} + 3 a + 3 = 57 a2+3a−54=(a−6)(a+9)=0a ^{2} + 3 a - 54 = \left( a - 6 \right) \left( a + 9 \right) = 0 a=6a = 6 S=−8+6=−2S = \mathit{-} 8 + 6 = \mathit{-} 2 따라서 10S2=4010 S ^{2} = 40

태그

#합성함수#구간별 함수

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