합성함수 최솟값

[출제의도] 유리함수의 그래프와 이차함수의 그래프를 이용하여 함수를 구하는 문제를 해결한다. 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

함수 $g ( x )$는 $x < 5$에서 $x$의 값이 커지면 $g ( x )$의 값도 커지므로 $g ( t ) < g ( t + 2 )$이다. $t < 1$일 때 $h ( t ) = f ( g ( t + 2 ) )$이고 $g ( t ) \leq {x} \leq {g ( t + 2 )}$이므로 $f ( x )$는 $x = g ( t + 2 )$에서 최솟값을 갖는다. 따라서 $g ( t ) \leq {x} \leq {g ( t + 2 )}$에서 $x$의 값이 커지면 $f ( x )$의 값은 작아진다. $1 {\leq} t < 3$일 때 $h ( t ) = 6$이므로 $g ( t ) \leq {x} \leq {g ( t + 2 )}$에서 $f ( x )$의 최솟값이 $6$으로 일정하므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 $\left( a , b \right)$라 하면 $a$는 $1 {\leq} t < 3$인 모든 $t$에 대하여 $g ( t ) \leq a \leq g ( t + 2 )$이어야 하므로 $a = g ( 3 )$이고, $b = 6$이다. 한편 $g ( 3 )$$= 2$이므로 $f ( x )$$= \alpha \left( x - 2 \right) ^{2} + 6$ $h ( - 1 ) = 7$에서 $h ( - 1 )$$= f ( g ( 1 ) )$$= 7$ $g ( 1 )$$\displaystyle = \frac{3}{2}$에서 $\displaystyle f \left( \frac{3}{2} \right)$$\displaystyle = \alpha \left( \frac{3}{2} - 2 \right) ^{2} + 6$$\displaystyle = \frac{\alpha}{4} + 6$$= 7$ $\alpha = 4$ $f ( x )$$= 4 \left( x - 2 \right) ^{2} + 6$ $f ( 5 )$$= 4 \times 3 ^{2} + 6$$= 42$