공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 최댓값

문제

두 함수 f(x)=x2−6x+12f ( x ) = x ^{2} - 6 x + 12, g(x)=−2x2+4x+kg ( x ) = - 2 x ^{2} + 4 x + k에 대하여 합성함수 (g∘f)(x)( g \circ f ) ( x )의 최댓값이 1010이 되도록 하는 상수 kk의 값은? [4점] ①1515②1616③1717④1818⑤1919

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②

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해설

[출제 의도] 이차함수의 최댓값을 구할 수 있다. f(x)=x2−6x+12=(x−3)2+3f ( x ) = x ^{2} - 6 x + 12 = ( x - 3 ) ^{2} + 3이므로 f(x)≥3f ( x ) \geq 3 (g∘f)(x)=g(f(x))\left( g \circ f \right) ( x ) = g \left( f ( x ) \right) =−2{f(x)}2+4f(x)+k= - 2 \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} + 4 f ( x ) + k =−2{f(x)−1}2+k+2= - 2 \left\{ f ( x ) - 1 \right\} ^{2} + k + 2 f(x)≥3f ( x ) \geq 3이므로 f(x)=3f ( x ) = 3일 때, (g∘f)(x)\left( g \circ f \right) ( x )의 최댓값은 −2(3−1)2+k+2=10- 2 ( 3 - 1 ) ^{2} + k + 2 = 10 ∴k=16\therefore k = 16

태그

#합성함수#최대최소

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