합성함수 치역의 개수

다음은 집합 $X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \right\}$과 함수 $f : X \rightarrow X$에 대하여 합성함수 $f \circ f$의 치역의 원소의 개수가 $5$인 함수 $f$의 개수를 구하는 과정이다.

함수 $f$와 함수 $f \circ f$의 치역을 각각 $A$와 $B$ 라 하자. $n ( A ) = 6$이면 함수 $f$는 일대일 대응이고, 함수 $f \circ f$도 일대일 대응이므로 $n ( B ) = 6$이다. 또한 $n ( A ) \leq 4$이면 $B \subset A$이므로 $n ( B ) \leq 4$이다. 그러므로 $n ( A ) = 5 ,$ 즉 $B = A$인 경우만 생각하면 된다.

(ⅰ) $n ( A ) = 5$인 $X$의 부분집합 $A$를 선택하는 경우의 수는 $\square {( \text{가} )}$이다. (ⅱ) (ⅰ)에서 선택한 집합 $A$에 대하여, $X$의 원소 중 $A$에 속하지 않은 원소를 $k$라 하자. $n ( A ) = 5$이므로 집합 $A$에서 $f ( k )$를 선택하는 경우의 수는 $\square {( \text{나} )}$이다. (ⅲ) (ⅰ)에서 선택한 $A = \left\{ a _{1} , a _{2} , a _{3} , a _{4} , a _{5} \right\}$와 (ⅱ)에서 선택한 $f ( k )$에 대하여, $f ( k ) \in A$이며 $A = B$이므로 $A = \left\{ f ( a _{1} ) , f ( a _{2} ) , f ( a _{3} ) , f ( a _{4} ) , f ( a _{5} ) \right\} \cdots ( * )$ 이다. $( * )$을 만족시키는 셩우의 수는 집합 $A$에서 집합 $A$로의 일대일 대응의 개수와 같으므로 $\square {( \text{다} )}$이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 $f$의 개수는 $\square {( \text{가} )} \times \square {( \text{나} )} \times \square {( \text{다} )}$이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p , q , r$이라 할 때, $p + q + r$의 값은? [4점] ①$131$②$136$③$141$④$146$⑤$151$