합성함수 불연속

[출제의도] 이차함수의 성질을 이용하여 합성함수가 불연속일 조건을 구한다. $g ( x ) = ( x - 2 ) ^{2} + k - 4$이므로 $x \rightarrow 2$일 때, $g ( x ) \rightarrow ( k - 4 ) + 0$이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} f ( g ( x ) ) = \lim\limits _{t \rightarrow ( k - 4 ) + 0} {f ( t )}$이다. 이때 주어진 함수 $f ( x )$의 그래프에서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow ( k - 4 ) + 0} {f ( t )}$의 값은 항상 존재하므로 함수 $( f \circ g ) ( x )$가 $x = 2$에서 불연속이려면 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow ( k - 4 ) + 0} {f ( t )} \ne f ( g ( 2 ) )$이어야 한다. 이때 $f ( g ( 2 ) ) = f ( k - 4 )$이므로 함수 $( f \circ g ) ( x )$가 $x = 2$에서 불연속이려면 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow ( k - 4 ) + 0} {f ( t )} \ne f ( k - 4 )$이어야 한다. 즉, 함수 $f ( x )$의 $x = k - 4$에서의 함숫값과 $x = k - 4$에서의 우극한이 서로 달라야 한다. 따라서 $k - 4 = 2$ 또는 $k - 4 = 3$이므로 $k = 6$ 또는 $k = 7$ 따라서 구하는 모든 $k$의 합은 $6 + 7 = 13$이다. [다른 풀이] $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 - 0} f ( g ( x ) ) = \lim\limits _{x \rightarrow 2 + 0} f ( g ( x ) ) = \lim\limits _{t \rightarrow ( k - 4 ) + 0} f ( t )$이고 $f ( g ( 2 ) ) = f ( k - 4 )$이다. 한편, $k - 4 \neq 1$, $k - 4 \neq 2$, $k - 2 \neq 3$일 때 함수 $f ( x )$는 $x = k - 4$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} f ( g ( x ) ) = f ( g ( 2 ) )$이다. 따라서 $k - 4 \neq 1$, $k - 4 \neq 2$, $k - 2 \neq 3$일 때, 함수 $( f \circ g ) ( x )$는 $x = k - 4$에서 연속이다. ⅰ) $k - 4 = 1$ 즉 $k = 5$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 + 0} f ( t ) = 3$, $f ( 1 ) = 3$이므로 함수 $( f \circ g ) ( x )$는 $x = 2$에서 연속이다. ⅱ) $k - 4 = 2$ 즉 $k = 6$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 + 0} f ( t ) = 2$, $f ( 2 ) = 1$이므로 함수 $( f \circ g ) ( x )$는 $x = 2$에서 불연속이다. ⅲ) $k - 4 = 3$ 즉 $k = 7$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 3 + 0} f ( t ) = 2$, $f ( 3 ) = 1$이므로 함수 $( f \circ g ) ( x )$는 $x = 2$에서 불연속이다. ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 함수 $( f \circ g ) ( x )$는 $x = 2$에서 불연속이 되도록 하는 실수 $k$의 값은 $6$과 $7$이다. 그러므로 구하는 합은 $13$이다.