공통수학2함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합성함수 방정식의 해 개수

문제

함수 $f ( x ) = 4 x ^{2} - 4 x + 1 ( 0 \leq x \leq 1 )$ 에 대하여, $y = f ( x )$ 와 $y = f ( f ( x ) )$ 의 그래프 개형은 각각 다음과 같다.

이 때 집합 $\left\{ x | f ( f ( f ( x ) ) ) = x , 0 \leq x \leq 1 \right\}$ 의 원소의 개수는? ① $16$ ② $12$ ③ $8$ ④ $6$ ⑤ $5$

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③

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해설

주어진 그래프는 다음과 같다.

위 그래프들을 이용하여 $y = f ( f ( f ( x ) ) )$ 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.

$y = x$ 와 $8$ 번 만나므로 원소의 개수는 $8$ 개다. [별해]

$( f ( f ( x ) ) ) = x$ 의 해를 $a , b , c , d$ 라고 하면 $f ( f ( a ) ) = a$ $f ( a )$ 인 $a$ 가 $2$ 개, $f ( b )$ 인 $b$ 가 $2$ 개 $f ( c )$ 인 $c$ 가 $2$ 개, $f ( d )$ 인 $d$ 가 $2$ 개 $\therefore 8 \text{개}$

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