합성함수 방정식

[출제의도] 합성함수를 활용하여 문제해결하기 $\left( f \circ f \right) = f \left( a \right)$에서 $f \left( a \right) = t$로 치환하면 $f \left( t \right) = t$ $t < 2$일 때 $2 t + 2 = t$에서 $t = - 2$이고, $t \geq 2$일 때 $t ^{2} - 7 t + 16 = t$에서 $t = 4$이다. (ⅰ) $t = - 2$인 경우 $f ( a ) = - 2$에서 $a < 2$일 때 $2 a + 2 = - 2$, $a = - 2$ $a \geq 2$일 때 $a ^{2} - 7 a + 16 = - 2$, $a ^{2} - 7 a + 18 = 0$ 의 판별식 $D$가 $D = \left( - 7 \right) ^{2} - 4 \times 1 \times 18 = - 23 < 0$ 이므로 $a \geq 2$일 때, $f \left( a \right) = - 2$를 만족시키는 실수 $a$의 값이 존재하지 않는다. (ⅱ) $t = 4$인 경우 $f ( a ) = 4$에서 $a < 2$일 때 $2 a + 2 = 4$, $a = 1$ $a \geq 2$일 때 $a ^{2} - 7 a + 16 = 4$, $a ^{2} - 7 a + 12 = \left( a - 3 \right) \left( a - 4 \right) = 0$ $a = 3$ 또는 $a = 4$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\left( f \circ f \right) \left( a \right) = f \left( a \right)$를 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 합은 $- 2 + 1 + 3 + 4 = 6$