공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 방정식

문제

두 함수 f(x)=x+af \left( x \right) = x + a, g(x)={x−2(x<2)x2(x≥2)\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} x - 2 _{{} _{}} & \left( x < 2 \right) _{{} _{}} \\ x ^{2 ^{{} ^{}}} & \left( x \geq 2 \right) ^{{} ^{}} \end{cases}} 에 대하여 (f∘g)(0)+(g∘f)(0)=10\left( f \circ g \right) \left( 0 \right) + \left( g \circ f \right) \left( 0 \right) = 10을 만족시키는 상수 aa의 값을 구하시오. [4점]

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3

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해설

[출제의도] 합성함수의 값 추론하기 (f∘g)(0)=f(g(0))=f(−2)=−2+a\left( f \circ g \right) \left( 0 \right) = f \left( g \left( 0 \right) \right) = f \left( - 2 \right) = \mathit{-} 2 + a (g∘f)(0)=g(f(0))=g(a)\left( g \circ f \right) \left( 0 \right) = g \left( f \left( 0 \right) \right) = g \left( a \right) (ⅰ) a<2a < 2일 때 g(a)=a−2g \left( a \right) = a - 2이므로 (f∘g)(0)+(g∘f)(0)=−2+a+a−2=10\left( f \circ g \right) \left( 0 \right) + \left( g \circ f \right) \left( 0 \right) = \mathit{-} 2 + a + a - 2 = 10에서 a=7a = 7이므로 조건에 맞지 않는다. (ⅱ) a≥2a \geq 2일 때 g(a)=a2g \left( a \right) = a ^{2}이므로 (f∘g)(0)+(g∘f)(0)=−2+a+a2=10\left( f \circ g \right) \left( 0 \right) + \left( g \circ f \right) \left( 0 \right) = \mathit{-} 2 + a + a ^{2} = 10에서 a=−4a = \mathit{-} 4 또는 a=3a = 3 a≥2a \geq 2이므로 a=3a = 3 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 a=3a = 3

태그

#합성함수#구간별 함수

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