공통수학2함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성함수 반복 주기

문제

집합 A={1,2,3,4}A = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}에 대하여 함수 f:A→Af : A \rightarrow A를 f(x)={x+1(x≤3)1(x=4)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} x + 1 ( x \leq 3 ) _{{} _{{} _{}}} \\ 1 ( x = 4 ) ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}} 로 정의하자. f1(x)=f(x)f ^{1} ( x ) = f ( x ), fn+1(x)=f(fn(x))f ^{n + 1} \left( x \right) = f \left( f ^{n} \left( x \right) \right)(n=1,2,3,⋯ )\left( n = 1 , 2 , 3 , \cdots \right) 이라 할 때, f2012(2)+f2013(3)f ^{2012} ( 2 ) + f ^{2013} ( 3 )의 값은? [3점] ①33②44③55④66⑤77

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④

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해설

[출제의도] 합성함수의 값 추론하기 주어진 함수의 정의에 따라 대응관계를 나타내면 그림과 같다.

f4(x)=xf ^{4} ( x ) = x이므로 f2012(2)=f4×503(2)=2f ^{2012} ( 2 ) = f ^{4 \times 503} ( 2 ) = 2 f2013(3)=f4×503+1(3)=f1(3)=4f ^{2013} ( 3 ) = f ^{4 \times 503 + 1} ( 3 ) = f ^{1} ( 3 ) = 4 따라서 f2012(2)+f2013(3)=2+4=6f ^{2012} ( 2 ) + f ^{2013} ( 3 ) = 2 + 4 = 6

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#합성함수#주기

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