공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 반복 값

문제

집합 X={1,2,3}X = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\} 에 대하여 함수 f:X→Xf : X \rightarrow X를 다음과 같이 정의한다.

f1(x)=f(x),f ^{1} ( x ) = f ( x ) , fn+1(x)=f(fn(x))f ^{n + 1} ( x ) = f ( f ^{n} ( x ) ) (n=1,2,3,⋯ )( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) 라 할 때, f100(1)−f200(3)f ^{100} ( 1 ) - f ^{200} ( 3 ) 의 값은? [4점] ①−2- 2②22③−1- 1④11⑤00

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해설

[출제의도] 합성함수의 성질을 이용하여 함수값을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 대응관계를 이용하여 합성함수의 값을 구하면 f3(1)=f(f(f(1)))=f(f(2))=f(3)=1f ^{3} ( 1 ) = f ( f ( f ( 1 ) ) ) = f ( f ( 2 ) ) = f ( 3 ) = 1 같은 방법으로 f3(2)=2,f3(3)=3f ^{3} ( 2 ) = 2 , f ^{3} ( 3 ) = 3 이다. ∴ f3(x)=xf ^{3} ( x ) = x f100(x)=(f3⋅33∘f)(x)=f(x)f ^{100} ( x ) = ( f ^{3 \cdot 33} \circ f ) ( x ) = f ( x ), f200(x)=(f3⋅66∘f2)(x)=f2(x)f ^{200} ( x ) = ( f ^{3 \cdot 66} \circ f ^{2} ) ( x ) = f ^{2} ( x ) ∴f100(1)=f(1)=2\therefore f ^{100} ( 1 ) = f ( 1 ) = 2 f200(3)=f2(3)=f(f(3))=f(1)=2f ^{200} ( 3 ) = f ^{2} ( 3 ) = f ( f ( 3 ) ) = f ( 1 ) = 2 ∴f100(1)−f200(3)=2−2=0\therefore f ^{100} ( 1 ) - f ^{200} ( 3 ) = 2 - 2 = 0

태그

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