공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수 반복

문제

집합 X={1,2,3}X = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}에 대하여 함수 f:X→Xf : X \rightarrow X가 그림과 같이 주어져 있다.

f1(x)=f(x)f ^{1} \left( x \right) = f \left( x \right), fn+1(x)=f(fn(x))f ^{n + 1} \left( x \right) = f \left( f ^{n} \left( x \right) \right)(n=1,2,3,⋯ )\left( n = 1 , 2 , 3 , \cdots \right)이라 할 때, f2010(2)+f2011(3)f ^{2010} \left( 2 \right) + f ^{2011} \left( 3 \right)의 값을 구하시오. [4점]

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3

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해설

[출제의도] 함수의 합성을 이해하고 문제 해결하기 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 3 , f ( 3 ) = 1이므로 f3(1)=f(f(f(1)))=f(f(2))=f(3)=1f ^{3} ( 1 ) = f ( f ( f ( 1 ) ) ) = f ( f ( 2 ) ) = f ( 3 ) = 1이다. 같은 방법으로 f3(2)=2,f3(3)=3f ^{3} ( 2 ) = 2 , f ^{3} ( 3 ) = 3이므로f3(x)=xf ^{3} ( x ) = x이다. 그러므로 f3=If ^{3} = I(항등함수)이므로f2010(2)=(f3)670(2)=I(2)=2f ^{2 0 1 0} ( 2 ) = ( f ^{3} ) ^{6 7 0} ( 2 ) = I ( 2 ) = 2,f2011(3)=f((f3)670(3))=f(I(3))=f(3)=1f ^{2 0 1 1} ( 3 ) = f ( ( f ^{3} ) ^{6 7 0} ( 3 ) ) = f ( I ( 3 ) ) = f ( 3 ) = 1이다. 따라서 f2010(2)+f2011(3)=2+1=3f ^{2 0 1 0} ( 2 ) + f ^{2 0 1 1} ( 3 ) = 2 + 1 = 3

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