합성과 적분의 함수방정식

주어진 식 $\displaystyle f ( g ( x ) ) = \int _{0} ^{x} f ( t ) g ( t ) dt - xe ^{x} + 3$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f' ( g ( x ) ) g' ( x ) = f ( x ) g ( x ) - ( 1 + x ) e ^{x}$ 이 때, 두 함수 $f ( x ) = ax + b , g ( x ) = e ^{x}$을 대입하면 $ae ^{x} = ( ax + b ) e ^{x} - ( 1 + x ) e ^{x}$$= \left\{ ( a - 1 ) x + ( b - 1 ) \right\} \cdot e ^{x}$ $\therefore a - 1 = 0 , a = b - 1$ 즉, $a = 1 , b = 2$ 따라서 $f ( 2 ) = 1 \cdot 2 + 2 = 4$이다.