미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합성으로 최댓값 위치

문제

함수 f(x)=4sin⁡x+3cos⁡xf ( x ) = 4 \sin x + 3 \cos x가 x=θx = \theta에서 최댓값을 가질 때, 3tan⁡θ3 \tan \theta의 값은? (단, 0≤x<2π0 \leq x < 2 \pi) [3점] ①33②44③55④66⑤77

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②

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해설

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이해하기 f(x)=5sin⁡(x+α)f ( x ) = 5 \sin ( x + \alpha )(단, cos⁡α=45\displaystyle \cos \alpha = \frac{4}{5}, sin⁡α=35\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5}) 이므로 0≤x<2π0 \leq x < 2 \pi인 범위에서 x+α=π2\displaystyle x + \alpha = \frac{\pi}{2}일 때 최대이다. 한편, tan⁡θ=tan⁡(π2−α)=cot⁡α\displaystyle \tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cot \alpha이고 cot⁡α=43\displaystyle \cot \alpha = \frac{4}{3}이므로 3tan⁡θ=3×43=4\displaystyle 3 \tan \theta = 3 \times \frac{4}{3} = 4

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#삼각함수의 합성#최대

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