합성 삼각함수의 극값

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 함수에 대하여 함숫값을 구할 수 있는가? $\displaystyle g' ( x ) = \frac{- \cos ( f ( x ) ) \times f' ( x )}{\left\{ 2 + \sin ( f ( x ) ) \right\} ^{2}}$ 이므로 $g' ( x ) = 0$에서 $\cos ( f ( x ) ) = 0$ 또는 $f' ( x ) = 0$ 이때, $\cos ( f ( x ) ) = 0$에서 $\displaystyle f ( x ) = \pm \frac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle f ( x ) = \pm \frac{3}{2} \pi$ 또는 $\displaystyle f ( x ) = \pm \frac{5}{2} \pi$ $\cdots$ 그런데 조건 (가)에서 $\displaystyle \frac{1}{g ( \alpha _{1} )} = \frac{1}{g ( 0 )} = 2 + \sin ( f ( 0 ) ) = \frac{5}{2}$ 이므로 $\displaystyle \sin ( f ( 0 ) ) = \frac{1}{2}$ 이때 $\displaystyle 0 < f ( 0 ) < \frac{\pi}{2}$ 이므로 $\displaystyle f ( 0 ) = \frac{\pi}{6} \cdots \text{㉠}$ 따라서 $\cos ( f ( \alpha _{1} ) ) = \cos ( f ( 0 ) ) \ne 0$ 이므로 $f' ( 0 ) = 0$ $\cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle f ( x ) = 6 \pi x ^{3} + px ^{2} + \frac{\pi}{6} ( p \text{는} \text{상수} )$ 로 놓으면 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{1}{g ( \alpha _{5} )} - \frac{1}{g ( \alpha _{2} )} = \sin ( f ( \alpha _{5} ) ) - \sin ( f ( \alpha _{2} ) ) = \frac{1}{2}$ $\cdots \text{㉢}$ 이때, $\cos ( f ( x ) ) = 0$이면 $\sin ( f ( x ) ) = - 1$ 또는 $\sin ( f ( x ) ) = 1$ 이므로 ㉢을 만족시키기 위해서는 $f' ( \alpha _{2} ) = 0 , f' ( \alpha _{5} ) \ne 0$ 또는 $f' ( \alpha _{2} ) \ne 0 , f' ( \alpha _{5} ) = 0$ (ⅰ) $f' ( \alpha _{2} ) = 0 , f' ( \alpha _{5} ) \ne 0$ 인 경우 $x \geq 0$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle f ( \alpha _{5} ) = \frac{5}{2} \pi$ 이므로 $\displaystyle \sin ( f ( \alpha _{5} ) ) - \sin ( f ( \alpha _{2} ) ) = 1 - \sin ( f ( \alpha _{2} ) ) = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \sin ( f ( \alpha _{2} ) ) = \frac{1}{2} \cdots \text{㉣}$ 그런데, $\displaystyle - \frac{\pi}{2} < f ( \alpha _{2} ) < \frac{\pi}{6}$이므로 ㉣을 만족시키는 $\alpha _{2}$는 존재하지 않는다. (ⅱ) $f' ( \alpha _{2} ) \ne 0 , f' ( \alpha _{5} ) = 0$ 인 경우 $x \geq 0$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

이때 $\displaystyle \sin ( f ( \alpha _{2} ) ) = \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right) = - 1$ 이므로 $\displaystyle \sin ( f ( \alpha _{5} ) ) = - \frac{1}{2}$ 이어야 한다. 따라서, $\cos ( f ( \alpha _{5} ) ) \ne 0$ 이므로 $f' ( \alpha _{5} ) = 0$ 이고 위의 그림에서 $\displaystyle - \frac{7}{2} \pi < f ( \alpha _{5} ) < - \frac{5}{2} \pi$ 이므로 $\displaystyle f ( \alpha _{5} ) = - 3 \pi + \frac{\pi}{6}$ 즉, $f' ( x ) = 18 \pi x ^{2} + 2 px = 2 x ( 9 \pi x + p ) = 0$ 에서 $\displaystyle \alpha _{5} = - \frac{p}{9 \pi}$ 이므로 $\displaystyle f ( \alpha _{5} ) = f \left( - \frac{p}{9 \pi} \right)$$\displaystyle = 6 \pi \times \left( - \frac{p}{9 \pi} \right) ^{3} + p \left( - \frac{p}{9 \pi} \right) ^{2} + \frac{\pi}{6}$ $\displaystyle = - 3 \pi + \frac{\pi}{6}$ $\displaystyle \frac{- 2 p ^{3}}{3 ^{5} \pi ^{2}} + \frac{p ^{3}}{3 ^{4} \pi ^{2}} = - 3 \pi$ $p ^{3} = - 3 ^{6} \pi ^{3}$ 따라서 $p = - 9 \pi$ 이므로 $\displaystyle f ( x ) = 6 \pi x ^{3} - 9 \pi x ^{2} + \frac{\pi}{6}$ $f' ( x ) = 18 \pi x ^{2} - 18 \pi x$ 따라서 $\displaystyle f' \left( - \frac{1}{2} \right) = \frac{9}{2} \pi + 9 \pi = \frac{27}{2} \pi$ $\displaystyle f \left( - \frac{1}{2} \right) = - \frac{3}{4} \pi - \frac{9}{4} \pi + \frac{\pi}{6} = - 3 \pi + \frac{\pi}{6}$ $\displaystyle \sin \left( f \left( - \frac{1}{2} \right) \right) = \sin \left( - 3 \pi + \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{1}{2}$ $\displaystyle \cos \left( f \left( - \frac{1}{2} \right) \right) = \cos \left( - 3 \pi + \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle g' \left( - \frac{1}{2} \right) = \frac{- \cos \left( f \left( - \frac{1}{2} \right) \right) \times f' \left( - \frac{1}{2} \right)}{\left\{ 2 + \sin \left( f \left( - \frac{1}{2} \right) \right) \right\} ^{2}}$$\displaystyle = \frac{- \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \frac{27}{2} \pi}{\left( 2 - \frac{1}{2} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = 3 \sqrt{3} \pi$ 따라서 $\displaystyle a ^{2} = ( 3 \sqrt{3} ) ^{2} = 27$