합성 삼각함수의 극대

조건 (가)에서 $f \left( 0 \right) = \sin b = 0$ $f \left( 2 \pi \right) = \sin \left( 2 \pi a + b \right) = 2 \pi a + b$ 모든 실수 $x$에 대하여 $\sin x = x$를 만족시키는 $x$의 값은 $x = 0$이 유일하므로 $2 \pi a + b = 0$, $b = - 2 \pi a$ $1 \leq a \leq 2$이므로 $- 4 \pi \leq b \leq - 2 \pi$이고 $\sin b = 0$이므로 $a = 1$ 또는 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ 또는 $a = 2$ (ⅰ) $a = 1$일 때 $b = - 2 \pi$이므로 $f \left( x \right) = \sin \left( x - 2 \pi + \sin x \right) = \sin \left( x + \sin x \right)$ $f' \left( x \right) = \cos \left( x + \sin x \right) \times \left( 1 + \cos x \right)$ $f' \left( 0 \right) = 2$, $f' \left( \pi \right) = 0$, $f' \left( 2 \pi \right) = 2$, $f' \left( 3 \pi \right) = 0$, $f' \left( 4 \pi \right) = 2$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle a = \frac{3}{2}$일 때 $b = - 3 \pi$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \sin \left( \frac{3}{2} x - 3 \pi + \sin x \right) = - \sin \left( \frac{3}{2} x + \sin x \right)$ $\displaystyle f' \left( x \right) = - \cos \left( \frac{3}{2} x + \sin x \right) \times \left( \frac{3}{2} + \cos x \right)$ 이때 $\displaystyle - 1 \leq - \cos \left( \frac{3}{2} x + \sin x \right) \leq 1$, $\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{3}{2} + \cos x \leq \frac{5}{2}$이므로 $\displaystyle - \frac{5}{2} \leq f' \left( x \right) \leq \frac{5}{2}$ $\displaystyle f' \left( 0 \right) = - \frac{5}{2}$이므로 $f' \left( t \right) = f' \left( 0 \right)$이면 $\displaystyle \cos \left( \frac{3}{2} t + \sin t \right) = 1$, $\cos t = 1$이다. $\cos t = 1$이므로 자연수 $n$에 대하여 $t = 2 n \pi$이다. 이때 $t = 2 \pi$이면 $\displaystyle \cos \left( \frac{3}{2} t + \sin t \right) = - 1 \ne 1$이고 $t = 4 \pi$이면 $\displaystyle \cos \left( \frac{3}{2} t + \sin t \right) = 1$이므로 조건 (나)를 만족시킨다. (ⅲ) $a = 2$일 때 $b = - 4 \pi$이므로 $f \left( x \right) = \sin \left( 2 x - 4 \pi + \sin x \right) = \sin \left( 2 x + \sin x \right)$ $f' \left( x \right) = \cos \left( 2 x + \sin x \right) \times \left( 2 + \cos x \right)$ $f' \left( 0 \right) = 3$, $f' \left( \pi \right) = 1$, $f' \left( 2 \pi \right) = 3$, $f' \left( 3 \pi \right) = 1$, $f' \left( 4 \pi \right) = 3$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 이상에서 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$, $b = - 3 \pi$ $\displaystyle f \left( x \right) = - \sin \left( \frac{3}{2} x + \sin x \right)$ $\displaystyle f' \left( x \right) = - \cos \left( \frac{3}{2} x + \sin x \right) \times \left( \frac{3}{2} + \cos x \right)$ $\displaystyle \frac{3}{2} + \cos x > 0$이므로 $f' \left( x \right) = 0$에서 정수 $m$에 대하여 $\displaystyle \frac{3}{2} x + \sin x = m \pi + \frac{\pi}{2}$ 열린구간 $\left( 0 , 4 \pi \right)$에서 곡선 $y = \sin x$와 직선 $\displaystyle y = - \frac{3}{2} x + m \pi + \frac{\pi}{2}$ ($m$은 정수)의 교점을 표현하면 다음과 같다.

$0 < x < p _{1}$일 때 $\displaystyle 0 < \frac{3}{2} x + \sin x < \frac{\pi}{2}$이므로 $f' \left( x \right) < 0$ $p _{1} < x < \pi$일 때 $\displaystyle \frac{\pi}{2} < \frac{3}{2} x + \sin x < \frac{3 \pi}{2}$이므로 $f' \left( x \right) > 0$ $\pi < x < p _{2}$일 때 $\displaystyle \frac{3 \pi}{2} < \frac{3}{2} x + \sin x < \frac{5 \pi}{2}$이므로 $f' \left( x \right) < 0$ $p _{2} < x < p _{3}$일 때 $\displaystyle \frac{5 \pi}{2} < \frac{3}{2} x + \sin x < \frac{7 \pi}{2}$이므로 $f' \left( x \right) > 0$ $p _{3} < x < 3 \pi$일 때 $\displaystyle \frac{7 \pi}{2} < \frac{3}{2} x + \sin x < \frac{9 \pi}{2}$이므로 $f' \left( x \right) < 0$ $3 \pi < x < p _{4}$일 때 $\displaystyle \frac{9 \pi}{2} < \frac{3}{2} x + \sin x < \frac{11 \pi}{2}$이므로 $f' \left( x \right) > 0$ $p _{4} < x < 4 \pi$일 때 $\displaystyle \frac{11 \pi}{2} < \frac{3}{2} x + \sin x < 6 \pi$이므로 $f' \left( x \right) < 0$ 따라서 함수 $f \left( x \right)$는 $x = \pi$, $x = p _{3}$, $x = p _{4}$에서 극대이므로 $A = \left\{ \pi , p _{3} , p _{4} \right\}$ $n = 3$, $\alpha _{1} = \pi$이므로 $\displaystyle n \alpha _{1} - ab = 3 \pi - \left( - \frac{9 \pi}{2} \right) = \frac{15 \pi}{2}$ $p = 2$, $q = 15$ $\therefore p + q = 17$ [참고] $g \left( x \right) = \sin x$라 하면 $g \left( 0 \right) = 0$, $g' \left( 0 \right) = 1$이므로 두 함수 $y = \sin x$, $y = x$는 점 $\left( 0 , 0 \right)$에서 접한다.

따라서 $\sin x = x$를 만족시키는 실수 $x$는 $x = 0$이 유일하다. 마찬가지로, $- 1 \leq g' \left( x \right) \leq 1$이므로 곡선 $y = \sin x$는 기울기가 $\displaystyle - \frac{3}{2}$인 직선과 오직 한 점에서만 만난다.